2.8. a) y = 1/x^2, y = 0, x = 1, x = 2; б) y = 1/√x, y = 0, x = 1, x = 9.

Решение задачи 2.8:

Эта задача, скорее всего, связана с вычислением площади под кривой с помощью интегралов. Но поскольку в задании нет явного указания на это, и даны только функции и пределы интегрирования, я представлю только сами выражения для площадей.

а) Площадь под кривой y = 1/x² от x = 1 до x = 2

Площадь S вычисляется как интеграл от функции y = 1/x² в пределах от 1 до 2:

• \[ S_a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx \]
• \[ S_a = \int_{1}^{2} x^{-2} dx \]
• \[ S_a = \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} \]
• \[ S_a = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} \]
• \[ S_a = \left( -\frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) \]
• \[ S_a = -\frac{1}{2} + 1 \]
• \[ S_a = \frac{1}{2} \]

б) Площадь под кривой y = 1/√x от x = 1 до x = 9

Площадь S вычисляется как интеграл от функции y = 1/√x в пределах от 1 до 9:

• \[ S_б = \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx \]
• \[ S_б = \int_{1}^{9} x^{-1/2} dx \]
• \[ S_б = \left[ \frac{x^{1/2}}{1/2} \right]_{1}^{9} \]
• \[ S_б = \left[ 2 \sqrt{x} \right]_{1}^{9} \]
• \[ S_б = 2 \sqrt{9} - 2 \sqrt{1} \]
• \[ S_б = 2 \times 3 - 2 \times 1 \]
• \[ S_б = 6 - 2 \]
• \[ S_б = 4 \]

Ответ: а) 1/2, б) 4