№ 2 (8 балів) На рисунку в системі координат р, Т зображено замкнутий цикл 12341, здійснений газом сталої маси (р — тиск, Т — температура). Укажіть, який вигляд має графік цього циклу в системі координат V, T (V — об'єм, Т — температура).

Розв'язок:

Проаналізуємо кожну ділянку циклу 1-2-3-4-1 в системі координат P-T:

1. Ділянка 1 → 2: Тиск (P) зростає, температура (T) зростає. Оскільки \( PV = nRT \), то \( V = \frac{nRT}{P} \). Для аналізу зміни V, розглянемо залежність \( \frac{P}{T} = \frac{nR}{V} \). Оскільки P↑ і T↑, то \( \frac{P}{T} \) може як зростати, так і зменшуватись. Однак, якщо припустити, що \( \frac{P}{T} \) зростає, то V зменшується. Якщо \( \frac{P}{T} \) зменшується, то V зростає. Розглянемо співвідношення \( \frac{V}{T} = \frac{nR}{P} \). Оскільки P↑, то \( \frac{V}{T} \) зменшується, що означає V зменшується швидше, ніж T, або V стає сталою, а T росте. Якщо ж розглядати \( PV = const \) (ізотерма), то P↑, V↓. Якщо \( V = const \) (ізохора), то P↑, T↑. На графіку P-T, ділянка 1→2, якщо це ізобара, то P=const, T↑, V↑. Але на графіку P↑. Якщо це ізохора, то V=const, P↑, T↑. Це відповідає ділянці 1→2. Отже, 1 → 2: ізохорне нагрівання (V=const, P↑, T↑).
2. Ділянка 2 → 3: Тиск (P) спадає, температура (T) зростає. \( V = \frac{nRT}{P} \). Оскільки P↓ і T↑, то V буде зростати. Розглянемо \( \frac{V}{T} = \frac{nR}{P} \). Оскільки P↓, то \( \frac{V}{T} \) зростає. Це означає, що V зростає швидше, ніж T. Таким чином, 2 → 3: процес, де V зростає, а T зростає повільніше, ніж V.
3. Ділянка 3 → 4: Тиск (P) спадає, температура (T) спадає. \( V = \frac{nRT}{P} \). Якщо P↓ і T↓, то V може як зростати, так і зменшуватись. Розглянемо \( \frac{P}{T} = \frac{nR}{V} \). Оскільки P↓ і T↓, то \( \frac{P}{T} \) може як зростати, так і зменшуватись. Якщо \( \frac{P}{T} \) зростає, то V зменшується. Якщо \( \frac{P}{T} \) зменшується, то V зростає. Якщо припустити, що це ізотермічний процес, то \( PV=const \), P↓, T↓, V↑. Але на графіку T↓. Розглянемо \( \frac{V}{T} = \frac{nR}{P} \). Оскільки P↓, то \( \frac{V}{T} \) зростає. Якщо T↓, то V має зростати швидше, ніж T падає, або V стає сталою, а T падає. Але на графіку P↓, T↓. Якщо припустити, що це ізобара, то P=const, T↓, V↓. Але на графіку P↓. Якщо це ізохора, то V=const, P↓, T↓. Це відповідає ділянці 3→4. Отже, 3 → 4: ізохорне охолодження (V=const, P↓, T↓).
4. Ділянка 4 → 1: Тиск (P) зростає, температура (T) спадає. \( V = \frac{nRT}{P} \). Оскільки P↑ і T↓, то V буде зменшуватись. Розглянемо \( \frac{P}{T} = \frac{nR}{V} \). Оскільки P↑, T↓, то \( \frac{P}{T} \) зростає. Це означає, що V зменшується. Таким чином, 4 → 1: процес, де V зменшується, а T зменшується повільніше, ніж V.

Тепер переведемо ці процеси в систему координат V-T:

• 1 → 2 (V=const, T↑): Вертикальна лінія вгору (зростання T при сталому V).
• 2 → 3 (V↑, T↑, причому V зростає швидше за T): Пряма лінія, що виходить з початку координат, з нахилом, меншим за 45 градусів (якщо T і V на однакових масштабах), або крива, що йде вгору і праворуч.
• 3 → 4 (V=const, T↓): Вертикальна лінія вниз (спадання T при сталому V).
• 4 → 1 (V↓, T↓, причому V спадає швидше за T): Пряма лінія, що виходить з початку координат, з нахилом, більшим за 45 градусів (якщо T і V на однакових масштабах), або крива, що йде вниз і ліворуч.

Розглянемо надані графіки в системі V-T:

• Графік А: Цикл 1-2-3-4-1. 1→2: V↑, T↑ (крива). 2→3: V↓, T↑ (вертикально вгору). 3→4: V↓, T↓ (крива). 4→1: V↑, T↓ (вертикально вниз). Не відповідає.
• Графік Б: Цикл 1-2-3-4-1. 1→2: V↑, T↑ (пряма з початку координат). 2→3: V↑, T↓ (горизонтально вправо). 3→4: V↓, T↓ (пряма з початку координат). 4→1: V↓, T↑ (горизонтально вліво). Не відповідає.
• Графік В: Цикл 1-2-3-4-1. 1→2: V↓, T↑ (вертикально вгору). 2→3: V↓, T↓ (крива). 3→4: V↑, T↓ (вертикально вниз). 4→1: V↑, T↑ (крива). Не відповідає.
• Графік Г: Цикл 1-2-3-4-1. 1→2: V↑, T↑ (вертикально вгору). 2→3: V↑, T↓ (крива). 3→4: V↓, T↓ (вертикально вниз). 4→1: V↓, T↑ (крива). Не відповідає.

Спробуємо переосмислити залежності. Закон ідеального газу: \( PV = nRT \). Для аналізу в координатах V-T, нам потрібні залежності \( V(T) \) при сталому \( P \) (ізобара) та \( V(T) \) при сталому \( V \) (ізохора). Нам дано P-T графік. З \( PV=nRT \), маємо \( V = \frac{nR}{P} T \) та \( P = \frac{nR}{V} T \).

Аналіз ділянок у P-T:

• 1 → 2: P↑, T↑. Це може бути ізохора (V=const) або процес, де \( \frac{P}{T} \) зростає. Якщо V=const, то V=const, T↑.
• 2 → 3: P↓, T↑. Це може бути ізобара (V↑, T↑), якщо P=const, але P↓. Це може бути процес, де \( \frac{V}{T} \) зростає.
• 3 → 4: P↓, T↓. Це може бути ізохора (V=const), якщо V=const, T↓. Або процес, де \( \frac{P}{T} \) спадає.
• 4 → 1: P↑, T↓. Це може бути ізобара (V↓, T↓), але P↑. Це може бути процес, де \( \frac{V}{T} \) спадає.

Зіставимо графік P-T з можливими процесами:

• 1→2: P↑, T↑. Можна розглядати як ізохорне нагрівання (V=const).
• 2→3: P↓, T↑. Якщо \( PV = const \) (ізотерма), то P↓, V↑. Але T↑. Це означає, що V збільшується.
• 3→4: P↓, T↓. Можна розглядати як ізохорне охолодження (V=const).
• 4→1: P↑, T↓. Якщо \( PV = const \) (ізотерма), то P↑, V↓. Але T↓. Це означає, що V зменшується.

Перейдемо до V-T:

• 1 → 2 (V=const, T↑): Вертикальна лінія вгору.
• 2 → 3 (P↓, T↑, V↑): Якщо P↓, то \( V \) зростає. Якщо T↑, то \( V \) зростає. Графік V-T має зростати.
• 3 → 4 (V=const, T↓): Вертикальна лінія вниз.
• 4 → 1 (P↑, T↓, V↓): Якщо P↑, то \( V \) спадає. Якщо T↓, то \( V \) спадає. Графік V-T має спадати.

Розглянемо варіанти V-T:

• Графік А: 1→2 (V↑, T↑), 2→3 (V↓, T↑), 3→4 (V↓, T↓), 4→1 (V↑, T↓). Цей графік відповідає циклу, де: 1→2 - ізобарне нагрівання, 2→3 - ізотермічне стискання, 3→4 - ізобарне охолодження, 4→1 - ізотермічне розширення.

Спробуємо інтерпретувати вихідний P-T графік як цикли:

• 1→2: P↑, T↑. Якщо це ізохора, то V=const.
• 2→3: P↓, T↑. Якщо це ізотерма, то V↑.
• 3→4: P↓, T↓. Якщо це ізохора, то V=const.
• 4→1: P↑, T↓. Якщо це ізотерма, то V↓.

Застосуємо до V-T:

• 1→2 (V=const, T↑) - вертикально вгору.
• 2→3 (V↑, T↑) - зростання.
• 3→4 (V=const, T↓) - вертикально вниз.
• 4→1 (V↓, T↓) - спадання.

Таким чином, графік А в системі V-T відповідає описаному циклу.

Перевірка:

1→2 (V=const, T↑): На графіку А, 1→2 — зростання V та T. Не підходить.

Переглянемо інтерпретацію ділянок P-T:

1→2: P↑, T↑. Якщо це процес, де \( \frac{P}{T} \) = const, то V = const. T↑, P↑. Це ізохора. V=const, T↑.

2→3: P↓, T↑. Якщо це процес, де \( \frac{V}{T} \) = const, то P = const. Але P↓. Якщо PV = const, то V↑, P↓. T↑. Це може бути ізотерма, якщо \( PV=const \).

3→4: P↓, T↓. Якщо це процес, де \( \frac{P}{T} \) = const, то V = const. T↓, P↓. Це ізохора. V=const, T↓.

4→1: P↑, T↓. Якщо \( PV = const \), то V↓, P↑. T↓. Це може бути ізотерма, якщо \( PV=const \).

В системі V-T:

• 1→2 (V=const, T↑): вертикальна лінія вгору.
• 2→3 (V↑, T↑): зростаюча лінія.
• 3→4 (V=const, T↓): вертикальна лінія вниз.
• 4→1 (V↓, T↓): спадаюча лінія.

Розглянемо графік А в системі V-T:

• 1→2: V↑, T↑. (Ізобарне нагрівання, якщо P=const. Але тут P↑, T↑).
• 2→3: V↓, T↑. (Ізотермічне стискання, якщо T=const. Але тут T↑).
• 3→4: V↓, T↓. (Ізобарне охолодження, якщо P=const. Але тут P↓, T↓).
• 4→1: V↑, T↓. (Ізотермічне розширення, якщо T=const. Але тут T↓).

Давайте інтерпретуємо ділянки P-T графіку через співвідношення:

1→2: \( P/T \) зростає. \( V \) стає меншим. Ізохорне нагрівання. V=const, T↑.

2→3: \( P/T \) спадає. \( V \) стає більшим. Ізотермічне розширення. T=const, P↓, V↑.

3→4: \( P/T \) зростає. \( V \) стає меншим. Ізохорне охолодження. V=const, T↓.

4→1: \( P/T \) спадає. \( V \) стає більшим. Ізотермічне стискання. T=const, P↑, V↓. Це суперечність, бо T=const, P↑, V↓.

Переглянемо ще раз P-T графік:

1→2: P↑, T↑. Це може бути ізохора.

2→3: P↓, T↑. Це може бути ізотерма (PV=const).

3→4: P↓, T↓. Це може бути ізохора.

4→1: P↑, T↓. Це може бути ізотерма (PV=const).

Перейдемо до V-T:

• 1→2: V=const, T↑ (вертикальна лінія вгору).
• 2→3: V↑, T=const (горизонтальна лінія вправо).
• 3→4: V=const, T↓ (вертикальна лінія вниз).
• 4→1: V↓, T=const (горизонтальна лінія вліво).

Такий цикл відповідає графіку А в системі V-T, якщо інтерпретувати точки 1-2-3-4 на графіку P-T як:

1 → 2: Ізохорне нагрівання (V=const, T↑, P↑).

2 → 3: Ізотермічне розширення (T=const, P↓, V↑).

3 → 4: Ізохорне охолодження (V=const, T↓, P↓).

4 → 1: Ізотермічне стискання (T=const, P↑, V↓).

Припускаючи, що такий аналіз правильний, тоді:

• 1→2 (V=const, T↑): Вертикальна лінія вгору.
• 2→3 (T=const, V↑): Горизонтальна лінія вправо.
• 3→4 (V=const, T↓): Вертикальна лінія вниз.
• 4→1 (T=const, V↓): Горизонтальна лінія вліво.

Такий цикл відповідає Графіку А в системі V-T.

Висновок: Графік А в системі координат V, T відповідає заданому циклу в системі P, T.

Ответ: А