2. (8 баллов). Вычислите \(\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\\). Ответ: 1) \(\sqrt{5}\); 2) \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\); 3) 0; 4) 2.

Решение:

Для вычисления значения выражения приведём каждую дробь к знаменателю, который будет являться произведением сопряжённых множителей, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

1. Первая дробь:

$$ \frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}+\sqrt{2} $$

Вторая дробь:

$$ \frac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{7-2} = \frac{5(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5} = \sqrt{7}-\sqrt{2} $$

Третья дробь:

$$ \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} = \sqrt{7}+\sqrt{5} $$

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$$ (\sqrt{5}+\sqrt{2}) + (\sqrt{7}-\sqrt{2}) - (\sqrt{7}+\sqrt{5}) $$

Раскроем скобки:

$$ \sqrt{5}+\sqrt{2} + \sqrt{7}-\sqrt{2} - \sqrt{7}-\sqrt{5} $$

Приведём подобные слагаемые:

$$ (\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (\sqrt{7} - \sqrt{7}) = 0 + 0 + 0 = 0 $$

Таким образом, значение выражения равно 0.

Ответ: 3) 0.