2.8. В параллелограмме ABCD сторона AB в два раза больше стороны BC, а точка M — середина AB. Докажите, что угол CMD прямой.

Пусть длина стороны BC равна a. Тогда AB = 2a, а поскольку M — середина AB, AM = MB = a. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому CD = AB = 2a и AD = BC = a.

Из параллельности AB и CD и равенства AB = CD следует, что четырёхугольник AMDC — параллелограмм: AM ∥ CD и AM = CD? Однако эти отрезки направлены противоположно и AM = a, тогда как CD = 2a, поэтому такого вывода сделать нельзя. Вместо этого используем координаты.

Расположим A=(0,0), B=(2a,0), а C=(u,v). Тогда D=(u−2a,v), а из BC=a получаем (u−2a)²+v²=a². Середина M отрезка AB имеет координаты (a,0).

Скалярное произведение векторов MC и MD равно (u−a)(u−3a)+v². Из условия BC=a следует u²−4au+3a²+v²=0, что в точности равно этому произведению. Значит, MC ⟂ MD, и угол CMD прямой.

Ответ: ∠CMD = 90°.