2.84. Представьте в виде суммы с наименьшим числом простых слагаемых (слагаемые могут повторяться) числа: а) нечётные, большие 5, но меньшие 20; б) чётные, большие 2, но меньшие 20. Сформулируйте предположения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых.

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Подбираем для каждого числа сумму простых слагаемых; повторения разрешены.

а) Нечётные числа:

• 7 = 2 + 5;
• 9 = 2 + 7;
• 11 = 3 + 3 + 5;
• 13 = 2 + 11;
• 15 = 2 + 13;
• 17 = 3 + 7 + 7;
• 19 = 2 + 17.

Когда число представлено суммой двух простых чисел, это наименьшее возможное число слагаемых. Для 11 и 17 двух слагаемых недостаточно: сумма двух нечётных простых чисел чётна, а сумма 2 и простого числа нечётного вида здесь не даёт нужного числа. Поэтому для них нужны три слагаемых.

б) Чётные числа:

• 4 = 2 + 2;
• 6 = 3 + 3;
• 8 = 3 + 5;
• 10 = 3 + 7;
• 12 = 5 + 7;
• 14 = 3 + 11;
• 16 = 3 + 13;
• 18 = 5 + 13.

Предположения: каждое чётное число, большее 2, можно представить суммой двух простых чисел; нечётные числа, большие 5, можно представить суммой трёх простых чисел. В некоторых случаях нечётное число удаётся представить даже суммой двух простых.

Замечание: образец на фотографии для числа 7 показывает сумму 7 = 2 + 2 + 3, но она не содержит наименьшего числа слагаемых: 7 = 2 + 5 — тоже сумма простых, но с двумя слагаемыми.