2.9. a) y = sin x, y = 0, x = π/2; б) y = cos 2x, y = 0, x = -π/6, x = π.

Решение задачи 2.9:

Эти задачи также, вероятно, требуют вычисления площадей под кривыми с помощью интегралов. Учитывая, что даны функции, ось x (y=0) и пределы по x, мы будем интегрировать функции в заданных пределах.

а) Площадь под кривой y = sin x от x = 0 до x = π/2

Площадь S вычисляется как интеграл от функции y = sin x в пределах от 0 до π/2. График функции sin x на этом интервале находится над осью x, поэтому площадь будет положительной.

• \[ S_a = \int_{0}^{\pi/2} \sin x dx \]
• \[ S_a = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi/2} \]
• \[ S_a = \left( -\cos \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\cos 0 \right) \]
• \[ S_a = (-0) - (-1) \]
• \[ S_a = 1 \]

б) Площадь под кривой y = cos 2x от x = -π/6 до x = π

Здесь ситуация немного сложнее, потому что функция cos 2x пересекает ось x несколько раз в заданном интервале. Чтобы найти площадь, нам нужно проинтегрировать |cos 2x|. Сначала найдем корни уравнения cos 2x = 0 в интервале [-π/6, π].

2x = π/2 + nπ, где n — целое число.

x = π/4 + nπ/2

Найдем корни в нашем интервале:

• Если n = 0, x = π/4
• Если n = -1, x = π/4 - π/2 = -π/4 (не входит в интервал [-π/6, π])
• Если n = -2, x = π/4 - π = -3π/4 (не входит)
• Если n = 1, x = π/4 + π/2 = 3π/4
• Если n = 2, x = π/4 + π = 5π/4 (не входит)

Значит, точки пересечения с осью x в интервале [-π/6, π] это x = π/4 и x = 3π/4. Также нужно учесть границы интервала: x = -π/6 и x = π.

Теперь определим знаки cos 2x на интервалах:

• [-π/6, π/4]: Возьмем x = 0. cos(0) = 1 (положительно).
• [π/4, 3π/4]: Возьмем x = π/2. cos(π) = -1 (отрицательно).
• [3π/4, π]: Возьмем x = 5π/6. cos(5π/3) = 1/2 (положительно).

Теперь вычислим интегралы по частям:

• \[ \int_{-\pi/6}^{\pi/4} \cos(2x) dx = \left[ \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{-\pi/6}^{\pi/4} = \frac{1}{2} \sin(\pi/2) - \frac{1}{2} \sin(-\pi/3) = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \]
• \[ \int_{\pi/4}^{3\pi/4} |\cos(2x)| dx = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} -\cos(2x) dx = \left[ -\frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{\pi/4}^{3\pi/4} = -\frac{1}{2} \sin(3\pi/2) - \left( -\frac{1}{2} \sin(\pi/2) \right) = -\frac{1}{2}(-1) - \left( -\frac{1}{2}(1) \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
• \[ \int_{3\pi/4}^{\pi} \cos(2x) dx = \left[ \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{3\pi/4}^{\pi} = \frac{1}{2} \sin(2\pi) - \frac{1}{2} \sin(3\pi/2) = \frac{1}{2}(0) - \frac{1}{2}(-1) = \frac{1}{2} \]

Суммируем площади:

• \[ S_б = \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) + 1 + \frac{1}{2} \]
• \[ S_б = 1 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \]
• \[ S_б = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \]

Ответ: а) 1, б) 3/2 + √3/4