2.94. Является ли какое-нибудь из чисел −1; 1; 0; 2 решением систем рациональных неравенств: а) { (x − 3)² > 0; (x − 2)(x − 5) < 0; б) { (x + 5)² > 0; (x + 4)(x − 4) > 0; в) { x² − 3x + 5 > 0; 1/(x − 4) < 2; г) { x² − 6x − 8 < 0; (x + 4)/x > 5?

Проверим каждую систему: число должно удовлетворять обоим неравенствам.

а) Из второго неравенства следует, что должно быть 2 < x < 5. Среди предложенных чисел в этот промежуток не попадает ни одно.

б) Из второго неравенства следует, что x < −4 или x > 4. Ни одно из предложенных чисел этому условию не удовлетворяет.

в) Неравенство x² − 3x + 5 > 0 выполняется при всех действительных x: его дискриминант равен 9 − 20 = −11, а старший коэффициент положителен. Для второго неравенства подставим предложенные числа:

При x = −1, 1/(x − 4) = −1/5 < 2; при x = 1 получаем −1/3 < 2; при x = 0 получаем −1/4 < 2; при x = 2 получаем −1/2 < 2. Все четыре числа подходят.

г) Из второго неравенства, с учётом x ≠ 0, получаем (x + 4)/x − 5 > 0, то есть 4(1 − x)/x > 0. Отсюда 0 < x < 1. Среди предложенных чисел ни одно не лежит в этом интервале.

Ответ: в системе в) решениями являются −1, 1, 0 и 2; в системах а), б) и г) подходящих чисел нет.