2. а) Дан прямоугольник ABCD, O — точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки A, B и O лежат в плоскости α. Докажите, что точки C и D также лежат в плоскости α. б) Вычислите площадь прямоугольника, если AC = 8 см, ∠AOB = 60°.

а) Доказательство.

1. Точки A, B и O лежат в плоскости α, поэтому прямая AO лежит в плоскости α.
2. Точки A, O и C лежат на одной диагонали AC прямоугольника. Следовательно, точка C принадлежит прямой AO, а значит, и плоскости α.
3. Точки B, O и D лежат на одной диагонали BD. Поэтому прямая BO лежит в плоскости α, и точка D также принадлежит плоскости α.

Таким образом, точки C и D лежат в плоскости α.

б) Решение.

Диагонали прямоугольника равны: \(AC = BD = 8\) см. Площадь четырёхугольника через его диагонали вычисляется по формуле:

\[S = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \angle AOB.\]

Подставим значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}\text{ см}^2.\]

Ответ: а) точки C и D лежат в плоскости α; б) \(16\sqrt{3}\) см².