2. a) Решите уравнение $$\log_{2}(x^{2}-14x) = 5$$.

Решение:

Чтобы решить уравнение, избавимся от логарифма:

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \( x^2 - 14x = 2^5 \)
2. Вычислим значение правой части: \( 2^5 = 32 \)
3. Получим квадратное уравнение: \( x^2 - 14x = 32 \)
4. Перенесём все члены уравнения в левую часть: \( x^2 - 14x - 32 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
6. В данном уравнении \( a = 1 \), \( b = -14 \), \( c = -32 \).
7. \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324 \)
8. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
9. Найдём корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
10. \( x_1 = \frac{14 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
11. \( x_2 = \frac{14 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
12. Проверим оба корня на допустимость. Аргумент логарифма должен быть положительным: \( x^2 - 14x > 0 \).
13. Для \( x = 16 \): \( 16^2 - 14 \cdot 16 = 256 - 224 = 32 \). \( 32 > 0 \), значит, \( x = 16 \) — подходит.
14. Для \( x = -2 \): \( (-2)^2 - 14 \cdot (-2) = 4 + 28 = 32 \). \( 32 > 0 \), значит, \( x = -2 \) — подходит.

Ответ: x₁ = 16, x₂ = -2.