2. ABCD — квадрат, ∠ADE = ∠ABE = ∠CBF = ∠CDF. Докажите, что BFDE — ромб.

По рисунку точки E и F лежат на диагонали AC. Обозначим общий угол через α. Пусть сторона квадрата равна a, а AE = x. Тогда, поскольку диагональ квадрата образует с его сторонами углы по 45°, из прямоугольного треугольника ADE следует: DE = x / (√2 · sin(45° + α)). Для доказательства удобнее использовать подобие прямоугольных треугольников.

Треугольники ADE и ABE прямоугольные: ∠DAE = 45°, ∠AEB = 90°, а ∠ADE = ∠ABE = α. Поэтому они подобны, откуда DE = BE.

Аналогично треугольники CBF и CDF прямоугольные и имеют равные углы ∠CBF = ∠CDF = α. Следовательно, они подобны и BF = DF.

Кроме того, по условию ∠ABE = ∠CBF. Поскольку AB ∥ CD, BC ∥ AD, а диагональ AC образует с этими сторонами равные углы, прямоугольные треугольники ABE и CBF имеют равные острые углы и соответствующие катеты AB = BC. Значит, они равны, поэтому BE = BF.

Итак, DE = BE = BF = DF. Четырёхугольник BFDE имеет четыре равные стороны, следовательно, BFDE — ромб.