2. ABCD — параллелограмм. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Точки E и F лежат соответственно на BC и AD, причём E, O, F расположены на одной прямой. Доказать: OE = OF.

Рассмотрим треугольники \(\triangle BOE\) и \(\triangle DOF\).

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OB=OD\).
2. Углы \(BOE\) и \(DOF\) — вертикальные, значит, \(\angle BOE=\angle DOF\).
3. Так как \(BC\parallel AD\), а \(BD\) — секущая, то \(\angle OBE=\angle ODF\).

Следовательно, треугольники \(BOE\) и \(DOF\) равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому соответствующие стороны равны:

\[OE=OF.\]

Что и требовалось доказать.