2) ABCD - прямоугольная трапеция (<A = <B = 90°). Описанная около окружности. Радиус окружности R = 9 см. Найдите среднюю линию.

Дано:

• ABCD — прямоугольная трапеция.
• <(=)A = <(=)B = 90°.
• Трапеция описана около окружности (вписана окружность).
• Радиус окружности: R = 9 см.

Найти: Среднюю линию трапеции (m).

Решение:

1. Свойство описанной трапеции: Для трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. В прямоугольной трапеции боковые стороны — это высота (h) и боковая сторона (c).
• a + b = h + c
2. Высота трапеции: Так как трапеция описана около окружности, ее высота равна диаметру окружности.
• h = 2R = 2 * 9 = 18 см.
3. Связь средней линии и оснований: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
• m = (a + b) / 2
4. Использование свойства описанной трапеции:
• Из условия a + b = h + c.
• Подставляем значение высоты: a + b = 18 + c.
• Средняя линия: m = (18 + c) / 2.
5. Дополнительное свойство: В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, высота равна средней геометрической между основаниями, если углы при основании касаются окружности. Однако, более прямое свойство заключается в том, что сумма оснований равна сумме боковых сторон.
6. Находим сумму оснований: Так как h = 18 см, то a + b = 18 + c.
7. Внимание: для нахождения средней линии достаточно суммы оснований. Для трапеции, описанной около окружности, выполняется свойство: сумма боковых сторон равна сумме оснований. В нашем случае, так как трапеция прямоугольная, высота h является одной из боковых сторон.
• a + b = h + c
• m = (a + b) / 2 = (h + c) / 2
8. Важное замечание: В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, выполняется равенство: h = c. Это происходит потому, что центр вписанной окружности лежит на равном расстоянии от всех сторон. В прямоугольной трапеции, если опустить перпендикуляр из вершины тупого угла на большее основание, образуется прямоугольник и прямоугольный треугольник. Радиус окружности, проведенный к точке касания на боковой стороне, будет перпендикулярен ей.
9. Упрощение: Если h = c, то a + b = h + h = 2h.
10. Вычисляем среднюю линию:
• m = (a + b) / 2 = (2h) / 2 = h
• m = 18 см.

Ответ: 18 см