2. ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед, N – точка пересечения отрезков AC и BD. Разложите вектор $\vec{D_1N}$ по векторам $\vec{D_1A_1} = \vec{a}$, $\vec{D_1C_1} = \vec{c}$, $\vec{D_1D} = \vec{d}$.

Question

2. ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед, N – точка пересечения отрезков AC и BD. Разложите вектор $\vec{D_1N}$ по векторам $\vec{D_1A_1} = \vec{a}$, $\vec{D_1C_1} = \vec{c}$, $\vec{D_1D} = \vec{d}$.

$Фото задания: 2. ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед, N – точка пересечения отрезков AC и BD. Разложите вектор $\vec{D_1N}$ по векторам…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Векторы, задающие параллелепипед: $\vec{a} = \vec{D_1A_1}$, $\vec{c} = \vec{D_1C_1}$, $\vec{d} = \vec{D_1D}$.

Точка $N$ является серединой диагонали $AC$ и $BD$ основания $ABCD$.

Разложим вектор $\vec{D_1N}$.

Сначала найдём вектор $\vec{D_1B}$.

$\vec{D_1B} = \vec{D_1A_1} + \vec{A_1B_1}$. Так как $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$, то $\vec{D_1B} = \vec{D_1A_1} + \vec{D_1C_1} = \vec{a} + \vec{c}$.

Теперь найдём $\vec{D_1N}$.

$\vec{D_1N} = \vec{D_1D} + \vec{DN}$.

Вектор $\vec{DB}$ равен $\vec{D_1B} - \vec{D_1D} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{d}$.

Точка $N$ является серединой диагонали $DB$ (так как $N$ — точка пересечения диагоналей основания). Следовательно, $\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{DB}$.

$\vec{DN} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c} - \vec{d})$.

$\vec{D_1N} = \vec{D_1D} + \vec{DN} = \vec{d} + \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c} - \vec{d}) = \vec{d} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}$.

Ответ: $\vec{D_1N} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}$.

2. ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед, N – точка пересечения отрезков AC и BD. Разложите вектор \(\vec{D_1N}\) по векторам \(\vec{D_1A_1} = \vec{a}\), \(\vec{D_1C_1} = \vec{c}\), \(\vec{D_1D} = \vec{d}\).

Ответ:

Решение: