2. ∠AOC = ∠BOD, OM — биссектриса ∠AOB (рис. 50). Докажите, что OM — биссектриса ∠COD.

Пусть лучи расположены в порядке, показанном на рисунке: OA, OC, OM, OD, OB.

1. Обозначим ∠COM = x, ∠MOD = y. Так как OM — биссектриса ∠AOB, то ∠AOM = ∠MOB.
2. Разложим эти углы на части: ∠AOM = ∠AOC + x, а ∠MOB = y + ∠BOD.
3. По условию ∠AOC = ∠BOD. Подставляя это равенство в равенство ∠AOM = ∠MOB, получаем ∠AOC + x = y + ∠AOC.
4. Следовательно, x = y, то есть ∠COM = ∠MOD.

Значит, OM делит угол COD на два равных угла и является его биссектрисой.