2. Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла ещё 66 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Обозначим:

• \(v\) — собственная скорость баржи (км/ч).
• \(u = 5\) км/ч — скорость течения реки.
• \(t_1\) — время движения по течению (часов).
• \(t_2\) — время движения против течения (часов).

Скорость баржи по течению: \(v + u = v + 5\) км/ч.

Скорость баржи против течения: \(v - u = v - 5\) км/ч.

Расстояние, пройденное по течению: \(S_1 = 84\) км.

Расстояние, пройденное против течения: \(S_2 = 66\) км.

Время движения по течению: \(t_1 = \frac{S_1}{v+u} = \frac{84}{v+5}\).

Время движения против течения: \(t_2 = \frac{S_2}{v-u} = \frac{66}{v-5}\).

Общее время в пути: \(t_1 + t_2 = 10\) часов.

Составим уравнение:

\[ \frac{84}{v+5} + \frac{66}{v-5} = 10 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{84(v-5) + 66(v+5)}{(v+5)(v-5)} = 10 \]\[ \frac{84v - 420 + 66v + 330}{v^2 - 25} = 10 \]\[ \frac{150v - 90}{v^2 - 25} = 10 \]\[ 150v - 90 = 10(v^2 - 25) \]\[ 150v - 90 = 10v^2 - 250 \]\[ 10v^2 - 150v - 250 + 90 = 0 \]\[ 10v^2 - 150v - 160 = 0 \]

Разделим уравнение на 10:

\[ v^2 - 15v - 16 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

• Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289\).
• \(\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17\).
• \(v_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16\).
• \(v_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).

Так как скорость баржи не может быть отрицательной, \(v = 16\) км/ч.

Ответ: Собственная скорость баржи равна 16 км/ч.