2. BC = 20, AB = 10, AC = 24. BM = ?

Дано:

• Треугольник ABC.
• BC = 20, AB = 10, AC = 24.
• BM - касательная к вписанной окружности.

Найти: BM

Решение:

1. Свойства вписанной окружности: Касательные, проведенные из одной точки к вписанной окружности, равны.
2. Обозначим точки касания: Пусть окружность касается сторон AB, BC, AC в точках K, N, M соответственно.
3. По условию: BM - это отрезок касательной от вершины B до точки касания M на стороне AC.
4. Но по рисунку: K - точка касания на AB, N - на AC, M - на BC.
5. Исходя из рисунка: AB = AK + KB. BC = BM + MC. AC = AN + NC.
6. По свойству касательных: AK = AN, KB = BM, MC = NC.
7. Из условия задачи: AB = 10, BC = 20, AC = 24.
8. Из рисунка, M - точка касания на BC.
9. Тогда BM - это отрезок касательной от B до точки M на BC.
10. Если M - точка касания на BC, то BM = BK.
11. Пусть AK = AN = x, BK = BM = y, CN = CM = z.
12. Тогда:
    • AB = x + y = 10
    • BC = y + z = 20
    • AC = x + z = 24
13. Решим систему уравнений:
• Сложим все уравнения: (x + y) + (y + z) + (x + z) = 10 + 20 + 24
• 2x + 2y + 2z = 54
• 2(x + y + z) = 54
• x + y + z = 27
14. Найдем x, y, z:
• $$y = (x + y + z) - (x + z) = 27 - 24 = 3$$.
• $$x = (x + y + z) - (y + z) = 27 - 20 = 7$$.
• $$z = (x + y + z) - (x + y) = 27 - 10 = 17$$.
15. Проверим: x + y = 7 + 3 = 10 (AB). y + z = 3 + 17 = 20 (BC). x + z = 7 + 17 = 24 (AC). Все верно.
16. По условию: BM = ?
17. Из рисунка, M - точка касания на BC.
18. Следовательно, BM = y.
19. BM = 3.

Ответ: 3