2) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD делит сторону CD в отношении 1 : 3, считая от вершины угла C. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 84 см.

Обозначим AB = CD = x, AD = BC = y. Пусть биссектриса угла A пересекает CD в точке F. По условию CF : FD = 1 : 3.

Поскольку AB ∥ CD, углы между AF и AB и между AF и CD равны. А так как AF — биссектриса угла A, треугольник AFD равнобедренный, поэтому FD = AD = y.

Из отношения CF : FD = 1 : 3 следует CD = CF + FD = 4FD, значит x = 4y. Но это противоречит свойству параллелограмма, если стороны указаны таким образом? Проверим расположение: равными являются углы между AF и AB и между AF и AD; так как AB ∥ CD, угол между AF и CD равен углу между AF и AB. Следовательно, в треугольнике AFD равны углы при F и A, поэтому AD = DF. Значит FD = y.

Тогда CD = CF + FD = 4FD = 4y, то есть x = 4y. Периметр даёт 2(x + y) = 84, откуда x + y = 42. Подставляя x = 4y, получаем 5y = 42, y = 8,4 см, x = 33,6 см.

Ответ: AB = CD = 33,6 см; AD = BC = 8,4 см.