2. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Луч DM пересекает прямую AB в точке N. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AN = 10 см.

По условию периметр однозначно найти нельзя: данных достаточно, чтобы определить AD, но не AB.

Пусть AB = a, AD = d, а угол между AB и AD равен α. Направление биссектрисы угла D задаётся суммой единичных направлений DC и DA: (1 − cos α, −sin α). Продлив эту биссектрису до прямой AB, получаем точку N с координатой AN = d. Следовательно, AD = AN = 10 см.

Условие о пересечении биссектрис на стороне BC связывает длину AB с углом α: AB = AD · (1 + cos α) / 2. Угол α в условии не задан, поэтому AB и периметр 2(AB + AD) не определены.

Например, при α = 90° получаем AB = 5 см и периметр 30 см; при α = 60° получаем AB = 7,5 см и периметр 35 см. Оба случая удовлетворяют условию и AN = 10 см.

Чтобы найти периметр, нужно дополнительное данное, например величина угла A или длина AB.