2*. BM одновременно медиана и высота. Докажите методом удвоения медианы, что AB = BC.

Продлим BM за точку M до точки D так, чтобы MD = BM. Поскольку BM — медиана, M — середина AC; по построению M — середина BD. Так как BM — высота, BM ⟂ AC.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABM и CBM. У них BM — общий катет, а AM = MC, поскольку M — середина AC. Следовательно, треугольники равны по двум катетам, а их гипотенузы равны: AB = BC.

Это согласуется с построением удвоенной медианы: в прямоугольных треугольниках ABM и ADM катеты BM = MD и AM — общие по длине, поэтому AB = AD. Аналогично из равенства прямоугольных треугольников CBM и CDM следует BC = CD; получаем, что стороны исходного треугольника при вершине B равны.

Доказано: AB = BC.