№ 2. Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см, а боковая сторона 6 см. Найти периметр трапеции, если ее диагональ делит острый угол трапеции пополам.

Обозначим большее основание через \(AB=10\) см, меньшее — через \(CD=b\) см. Пусть \(D\) находится над \(A\), а \(C\) — над \(B\). В равнобокой трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(d=\frac{10-b}{2}\).

Расположим \(A\) в начале координат. Тогда направления лучей \(AB\) и \(AD\) задаются векторами \((1,0)\) и \((d,h)\), где \(h\) — высота трапеции, а \(AD=6\). Направление биссектрисы угла между этими лучами пропорционально сумме единичных векторов: \((1,0)+(\frac d6,\frac h6)\). Поэтому наклон диагонали-биссектрисы \(AC\) равен \(\frac{h}{6+d}\).

Горизонтальная проекция диагонали \(AC\) равна \(d+b\), поэтому её наклон также равен \(\frac{h}{d+b}\). Приравниваем наклоны: \(\frac{h}{6+d}=\frac{h}{d+b}\), откуда \(b=6\) см.

Периметр: \(P=10+6+6+6=28\) см.

Ответ: 28 см.