2. Через точку O, расположенную между параллельными плоскостями α и β, проведены три прямые, которые пересекают эти плоскости в точках A, A₁; B, B₁; C и C₁ соответственно. Найдите стороны треугольника A₁B₁C₁, если его площадь равна 21 см² и AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см.

По формуле Герона площадь треугольника ABC равна \(\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\) см².

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны: их стороны лежат на одних и тех же прямых, а плоскости α и β параллельны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Поэтому \(k=\sqrt{21/84}=1/2\).

Тогда \(A_1B_1=13\cdot\frac12=6.5\) см, \(B_1C_1=14\cdot\frac12=7\) см, \(A_1C_1=15\cdot\frac12=7.5\) см.

Ответ: A₁B₁ = 6,5 см; B₁C₁ = 7 см; A₁C₁ = 7,5 см.