2. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами ещё одного квадрата.

Обозначим центр исходного квадрата через O. Пусть первая прямая пересекает его стороны в точках P и Q, а вторая — в точках R и S.

1. Повернём квадрат на 90° вокруг O. Квадрат при таком повороте переходит в себя, а первая прямая — во вторую, поскольку они перпендикулярны и проходят через O. Поэтому точки P и Q переходят в точки пересечения второй прямой со сторонами квадрата — R и S.
2. Отрезки PQ и RS имеют общий центр O: каждая из прямых проходит через центр, а противоположные точки пересечения симметричны относительно O. Поворот также показывает, что PQ = RS. По условию PQ ⟂ RS.
3. Значит, в четырёхугольнике P–R–Q–S диагонали PQ и RS делятся точкой O пополам, равны и перпендикулярны. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, он является параллелограммом; равные диагонали делают его прямоугольником, а перпендикулярные — ромбом. Следовательно, этот параллелограмм одновременно является прямоугольником и ромбом, то есть квадратом.

Схема: