2 cos (2x + pi/4) - 1 = 0 (10 баллов).

Давай решим это уравнение вместе! Помни, что главное – понять каждый шаг.

1. Приведем уравнение к удобному виду:
   Сначала перенесем единицу в правую часть:
   \[ 2 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = 1 \]
   Теперь разделим обе части на 2:
   \[ \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \]
2. Найдем значения аргумента косинуса:
   Мы знаем, что косинус равен 1/2 при углах \(\frac{\pi}{3}\) и \(-\frac{\pi}{3}\) (или \(\frac{5\pi}{3}\)) плюс полные обороты (2\( \pi \)n, где n – любое целое число).
   Значит, у нас два случая:
   Случай 1:
   \[ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]
   Случай 2:
   \[ 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \]
3. Выразим x из каждого случая:
   Случай 1:
   \[ 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]
   Приведем дроби к общему знаменателю (12):
   \[ 2x = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n \]
   \[ 2x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n \]
   Разделим все на 2:
   \[ x = \frac{\pi}{24} + \pi n \]
   Случай 2:
   \[ 2x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]
   Приведем дроби к общему знаменателю (12):
   \[ 2x = \frac{-4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n \]
   \[ 2x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi n \]
   Разделим все на 2:
   \[ x = -\frac{7\pi}{24} + \pi n \]

Ответ:
Корни уравнения: \( x = \frac{\pi}{24} + \pi n \) и \( x = -\frac{7\pi}{24} + \pi n \), где \( n \) – любое целое число.

Пояснение к оценке (10 баллов):

• Правильное приведение уравнения к виду \( \cos \alpha = a \): 2 балла.
• Правильный выбор значений \( \alpha \) (два случая, учет периода \( 2\pi n \)): 4 балла.
• Правильное нахождение \( x \) в первом случае: 2 балла.
• Правильное нахождение \( x \) во втором случае: 2 балла.