2. Дан куб ABCD A₁B₁C₁D₁, отмечена точка M — центр грани A₁D₁D. Найдите угол между прямыми BM и B₁C₁.

Пусть ребро куба равно a. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), а верхние вершины имеют координату z = a.

Грань A₁D₁D лежит в плоскости x = 0. Её центр M имеет координаты M(0; a/2; a/2). Тогда направляющий вектор прямой BM равен (−a; a/2; a/2), а направляющий вектор прямой B₁C₁ равен (0; a; 0).

Острый угол между прямыми определяем по формуле скалярного произведения:

\(\cos\varphi=\dfrac{|(−a,\ a/2,\ a/2)\cdot(0,\ a,\ 0)|}{\sqrt{a^2+a^2/4+a^2/4}\cdot a}=\dfrac{a^2/2}{a\sqrt{3/2}\cdot a}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\).

Следовательно, \(\varphi=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{6}}\approx65.9^\circ\).

Ответ: \(\arccos\dfrac{1}{\sqrt{6}}\approx65.9^\circ\).