2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найти угол между прямыми AD₁ и BK, где K — середина ребра DD₁. (За ребро куба примите 1.)

Выберем координаты вершин куба с ребром 1: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(D_1(0;1;1)\).

Так как K — середина ребра \(DD_1\), то \(K(0;1;\frac12)\).

Направляющий вектор прямой \(AD_1\): \(\overrightarrow{AD_1}=(0;1;1)\). Направляющий вектор прямой \(BK\): \(\overrightarrow{BK}=(-1;1;\frac12)\).

Скалярное произведение равно \(\overrightarrow{AD_1}\cdot\overrightarrow{BK}=0\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot\frac12=\frac32\).

Длины векторов: \(|\overrightarrow{AD_1}|=\sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{BK}|=\sqrt{1+1+\frac14}=\frac32\).

Косинус угла между прямыми равен \(\frac{|\overrightarrow{AD_1}\cdot\overrightarrow{BK}|}{|\overrightarrow{AD_1}|\,|\overrightarrow{BK}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Следовательно, угол равен \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).