2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, отмечена точка M — центр грани A₁D₁D (в записи грани не хватает четвёртой вершины). Найдите угол между прямыми BM и BC₁.

В условии, по-видимому, пропущена вершина: грань куба, содержащая точки A₁, D₁ и D, — это A₁D₁DA. Если M — центр этой грани, задача решается так.

Пусть ребро куба равно \(a\). Выберем координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\), \(A_1(0;0;a)\). Тогда \(D_1(0;a;a)\), \(C_1(a;a;a)\), а центр грани \(A_1D_1DA\) имеет координаты \(M(0;\frac a2;\frac a2)\).

Направляющие векторы:

\(\overrightarrow{BM}=(-a;\frac a2;\frac a2)\), \(\overrightarrow{BC_1}=(0;a;a)\).

Находим косинус угла между прямыми:

\(\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BC_1}|}{|\overrightarrow{BM}|\,|\overrightarrow{BC_1}|}=\dfrac{a^2}{(a\sqrt{6}/2)(a\sqrt2)}=\dfrac1{\sqrt3}.\)

Значит, \(\varphi=\arccos\frac1{\sqrt3}\approx54.7^\circ\).

Ответ: \(\arccos\frac1{\sqrt3}\approx54.7^\circ\), если M — центр грани A₁D₁DA.