2 Дан квадрат ABCD; MB \perp ABC. Построить угол между плоскостями MAD и ABC и почему так построили.

Решение:

Чтобы найти угол между двумя плоскостями (в данном случае, плоскостями MAD и ABC), нужно выполнить следующие шаги:

1. Определение угла между плоскостями: Угол между двумя плоскостями — это угол между двумя прямыми, перпендикулярными линии пересечения этих плоскостей, проведенными в обеих плоскостях в одной и той же точке.
2. Линия пересечения: Плоскости MAD и ABC пересекаются по прямой AD.
3. Перпендикуляр к линии пересечения в плоскости ABC: В плоскости ABC, прямой, перпендикулярной AD, является сторона AB (так как ABCD — квадрат, \(AB \perp AD\)).
4. Перпендикуляр к линии пересечения в плоскости MAD: В плоскости MAD, нам нужно провести прямую, перпендикулярную AD. Так как MB \perp ABC, то MB перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC и проходящей через точку B. Следовательно, MB перпендикулярна AB и MB перпендикулярна BC.
5. Поиск точки для перпендикуляра в плоскости MAD: Нам нужна точка, из которой можно провести перпендикуляр к AD в плоскости MAD. Рассмотрим треугольник MAB. Если \(MB \perp AB\), то \(\angle MAB = 90^\circ\).
6. Построение перпендикуляра в плоскости MAD: В данном случае, так как MB \perp ABC, то MB перпендикулярна AB. Поскольку AB \perp AD, то прямая AB является линией, перпендикулярной линии пересечения AD в плоскости ABC. Чтобы построить угол, нам нужен еще один перпендикуляр к AD, но уже в плоскости MAD.
7. Уточнение условия: Условие \(MB \perp ABC\) означает, что MB перпендикулярна всей плоскости ABC. Следовательно, MB перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC, в частности, MB \perp AB.
8. Построение угла: Поскольку \(AB \perp AD\) (в квадрате) и \(MB \perp AD\) (так как MB перпендикулярна плоскости ABC, которой принадлежит AD), то AB и MB являются двумя перпендикулярами к линии пересечения AD, проведенными из одной точки (B). Следовательно, угол между плоскостями MAD и ABC равен углу \(\angle MBA\).

Объяснение:

Мы выбрали прямые AB (в плоскости ABC) и MB (в плоскости MAD), так как обе они перпендикулярны линии пересечения плоскостей (AD) и проведены из одной точки (B). Таким образом, угол между этими прямыми является искомым углом между плоскостями.