2. Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками. а) Выполните рисунок к задаче; б) Докажите, что полученный четырехугольник — ромб.

а) Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно через M, N, P и Q. На рисунке показаны исходный пространственный четырёхугольник, его диагонали и четырёхугольник MNPQ.

б) По теореме о средней линии треугольника:

1. В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины AB и BC, поэтому MN ∥ AC и MN = AC/2.
2. В треугольнике BCD отрезок NP соединяет середины BC и CD, поэтому NP ∥ BD и NP = BD/2.
3. В треугольнике CDA отрезок PQ соединяет середины CD и DA, поэтому PQ ∥ AC и PQ = AC/2.
4. В треугольнике DAB отрезок QM соединяет середины DA и AB, поэтому QM ∥ BD и QM = BD/2.

Следовательно, MN = PQ, а NP = QM. Кроме того, MN ∥ PQ и NP ∥ QM, значит, MNPQ — параллелограмм. По условию AC = BD, поэтому MN = NP. Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.

Итак, полученный четырёхугольник MNPQ — ромб.