2. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, M и N — середины сторон AB и BC соответственно, E ∈ CD, K ∈ DA, DE:EC = 1:2, DK:KA = 1:2. а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что четырёхугольник MNEK — трапеция.

а) Схематический рисунок пространственного четырёхугольника и указанных точек (не в масштабе):

б) В треугольнике ABC точки M и N — середины AB и BC. Поэтому по теореме о средней линии MN ∥ AC и MN = AC/2.

В треугольнике DAC имеем DE:EC = 1:2, следовательно, DE/DC = 1/3. Также DK:KA = 1:2, поэтому DK/DA = 1/3. По обратной теореме Фалеса EK ∥ AC.

Итак, MN ∥ AC и EK ∥ AC, значит MN ∥ EK. Четырёхугольник MNEK имеет пару параллельных противоположных сторон, следовательно, является трапецией.

Что и требовалось доказать.