2. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно отрезками. а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что полученный четырёхугольник есть ромб.

а) На схеме M, N, P и Q — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно; они соединены последовательно.

б) Пусть M, N, P и Q — середины AB, BC, CD и DA соответственно. По теореме о средней линии треугольника:

В треугольнике ABC: MN ∥ AC и MN = AC/2.

В треугольнике BCD: NP ∥ BD и NP = BD/2.

В треугольнике CDA: PQ ∥ AC и PQ = AC/2.

В треугольнике DAB: QM ∥ BD и QM = BD/2.

Так как AC = BD, получаем MN = NP = PQ = QM. Следовательно, четырёхугольник MNPQ имеет четыре равные стороны, то есть является ромбом.

Что и требовалось доказать.