2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол ADCA₁, если ДС=5 см, АА₁=12√3 см, АС=13 см.

Дано:

• ABCD A₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед.
• ДС = 5 см.
• АА₁ = 12√3 см.
• АС = 13 см.

Найти: Двугранный угол ADCA₁.

Решение:

1. Определяем двугранный угол:
   Двугранный угол между плоскостями ADCA₁ и ABCD. Линией пересечения этих плоскостей является прямая AD.
2. Находим перпендикуляры к линии пересечения:
   
   • В плоскости ABCD проведем отрезок DC ⊥ AD (т.к. ABCD — прямоугольник, ∆ADC — прямой).
   • В плоскости ADCA₁ проведем отрезок D₁A ⊥ AD.
3. Находим длину D₁A:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник AD₁A. У нас есть АА₁ = 12√3 см.
   Нужно найти AD. В основании ABCD, ∆ADC — прямоугольный. По теореме Пифагора:
   \[ AD^2 = AC^2 - DC^2 \]
   \[ AD^2 = 13^2 - 5^2 \]
   \[ AD^2 = 169 - 25 = 144 \]
   \[ AD = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]
4. Находим длину D₁A:
   В прямоугольном ∆AD₁A:
   \[ D₁A^2 = AD^2 + AA₁^2 \]
   \[ D₁A^2 = 12^2 + (12\sqrt{3})^2 \]
   \[ D₁A^2 = 144 + (144 \cdot 3) \]
   \[ D₁A^2 = 144 + 432 = 576 \]
   \[ D₁A = \sqrt{576} = 24 \text{ см} \]
5. Находим угол между перпендикулярами:
   Рассмотрим ∆AD₁A.
   Мы знаем стороны: AD = 12 см, AA₁ = 12√3 см, D₁A = 24 см.
   Косинус искомого двугранного угла (угла ∆AD₁A) можно найти по теореме косинусов, но проще заметить, что:

\[ \frac{AD}{D₁A} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \]

Это означает, что в прямоугольном ∆AD₁A, катет AD равен половине гипотенузы D₁A. Следовательно, угол, противолежащий этому катету (т.е. угол D₁AD, который и является двугранным углом), равен 30°.

Ответ: 30°