№ 2. Дан треугольник ABC, точки A(−2; −4), B(4; 1), C(−1; 2), точка M — середина AB, точка K — середина AC. Найдите: а) координаты точек M и K; б) длину MC и KB; в) длину средней линии MK; г) длины сторон треугольника ABC; д) периметр треугольника AKM.

Question

Вопрос:

Фото задания: № 2. Дан треугольник ABC, точки A(−2; −4), B(4; 1), C(−1; 2), точка M — середина AB, точка K — середина AC. Найдите: а)…

№ 2. Дан треугольник ABC, точки A(−2; −4), B(4; 1), C(−1; 2), точка M — середина AB, точка K — середина AC. Найдите: а) координаты точек M и K; б) длину MC и KB; в) длину средней линии MK; г) длины сторон треугольника ABC; д) периметр треугольника AKM.

Accepted Answer

а) Координаты M и K. Координаты середины отрезка — полусуммы соответствующих координат концов:
\(M\left(\frac{-2+4}{2};\frac{-4+1}{2}\right)=(1; -\frac{3}{2})\).
\(K\left(\frac{-2+(-1)}{2};\frac{-4+2}{2}\right)=(-\frac{3}{2}; -1)\).
б) Длины MC и KB. По формуле расстояния между точками:
\(MC=\sqrt{(-1-1)^2+(2-(-\frac{3}{2}))^2}=\sqrt{4+\frac{49}{4}}=\frac{\sqrt{65}}{2}\).
\(KB=\sqrt{(4-(-\frac{3}{2}))^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{\frac{121}{4}+4}=\frac{\sqrt{137}}{2}\).
в) Длина средней линии MK. Поскольку M и K — середины двух сторон треугольника, \(MK=\frac{BC}{2}\). Сначала найдём \(BC\): \(BC=\sqrt{(-1-4)^2+(2-1)^2}=\sqrt{26}\). Поэтому \(MK=\frac{\sqrt{26}}{2}\).
г) Длины сторон ABC.
\(AB=\sqrt{(4-(-2))^2+(1-(-4))^2}=\sqrt{61}\).
\(AC=\sqrt{(-1-(-2))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{37}\).
\(BC=\sqrt{26}\).
д) Периметр треугольника AKM. Так как K и M — середины AC и AB, то \(AK=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2}\), а \(AM=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{61}}{2}\). Кроме того, \(KM=\frac{\sqrt{26}}{2}\). Складываем стороны: \(P_{AKM}=\frac{\sqrt{37}+\sqrt{61}+\sqrt{26}}{2}\).

Ответ: а) \(M(1; -\frac{3}{2})\), \(K(-\frac{3}{2}; -1)\); б) \(MC=\frac{\sqrt{65}}{2}\), \(KB=\frac{\sqrt{137}}{2}\); в) \(MK=\frac{\sqrt{26}}{2}\); г) \(AB=\sqrt{61}\), \(AC=\sqrt{37}\), \(BC=\sqrt{26}\); д) \(P_{AKM}=\frac{\sqrt{37}+\sqrt{61}+\sqrt{26}}{2}\).