№2. Дан треугольник ABC, точки A(-5; -2), B(1; 4), C(-3; -2). Точка M — середина AB, точка K — середина AC. Найдите: а) координаты точек M и K; б) длину медианы MC и KB; в) длину средней линии MK; г) длины сторон треугольника ABC.

а) Координаты середины отрезка находятся усреднением соответствующих координат концов:

\(M\left(\frac{-5+1}{2};\frac{-2+4}{2}\right)=M(-2;1)\).

\(K\left(\frac{-5+(-3)}{2};\frac{-2+(-2)}{2}\right)=K(-4;-2)\).

б) По формуле расстояния:

\(MC=\sqrt{(-3-(-2))^2+(-2-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\).

\(KB=\sqrt{(1-(-4))^2+(4-(-2))^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}\).

в) \(MK=\sqrt{(-4-(-2))^2+(-2-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\). Это средняя линия, поскольку M и K — середины двух сторон.

г) Длины сторон:

\(AB=\sqrt{(1-(-5))^2+(4-(-2))^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}\).

\(AC=\sqrt{(-3-(-5))^2+(-2-(-2))^2}=2\).

\(BC=\sqrt{(-3-1)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\).

Ответ: а) \(M(-2;1)\), \(K(-4;-2)\); б) \(MC=\sqrt{10}\), \(KB=\sqrt{61}\); в) \(MK=\sqrt{13}\); г) \(AB=6\sqrt{2}\), \(AC=2\), \(BC=2\sqrt{13}\).