2. Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Найти косинус угла между высотой основания AA1 и ребром SC, если сторона основания \(\sqrt3\), боковое ребро 2.

Пусть \(A_1\) — основание высоты равностороннего треугольника ABC. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, поэтому \(A_1\) — середина BC.

Радиус описанной окружности основания:

\[OC=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=1,\]

где O — центр основания.

Так как боковое ребро \(SC=2\), высота пирамиды равна

\[SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt3.\]

Введём координаты:

\(A=(0,\frac32,0)\), \(A_1=(0,0,0)\), \(C=(\frac{\sqrt3}{2},0,0)\), \(S=(0,\frac12,\sqrt3)\).

Тогда

\[\overrightarrow{A A_1}=\left(0,-\frac32,0\right),\qquad \overrightarrow{SC}=\left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12,-\sqrt3\right).\]

Скалярное произведение:

\[\overrightarrow{A A_1}\cdot\overrightarrow{SC}=\frac34.\]

Длины векторов:

\[|AA_1|=\frac32,\qquad |SC|=2.\]

Следовательно, косинус угла между прямыми равен

\[\cos\varphi=\frac{\frac34}{\frac32\cdot2}=\frac14.\]

Ответ: \(\frac14\).