2. Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $O$ лежит на ребре $BB_1$. Постройте: а) точку пересечения прямой $C_1O$ с плоскостью $ABC$; б) точку пересечения прямой $A_1O$ с плоскостью $ABC$; в) прямую, по которой пересекаются плоскость $ABC$ и плоскость $A_1OC_1$. Опишите шаги построения.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $O$ лежит на ребре $BB_1$. Постройте: а) точку пересечения…$ Фото задания

2. Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $O$ лежит на ребре $BB_1$. Постройте: а) точку пересечения прямой $C_1O$ с плоскостью $ABC$; б) точку пересечения прямой $A_1O$ с плоскостью $ABC$; в) прямую, по которой пересекаются плоскость $ABC$ и плоскость $A_1OC_1$. Опишите шаги построения.

Accepted Answer

Обозначим искомые точки пересечения через $X$ и $Y$.

Плоскость боковой грани $BCC_1B_1$ содержит прямую $C_1O$, поскольку $C_1$ принадлежит этой грани, а $O$ лежит на её ребре $BB_1$. Эта грань пересекает плоскость $ABC$ по прямой $BC$. Поэтому проводим прямую $C_1O$ и отмечаем $X=C_1O\cap BC$. На рисунке точка $X$ лежит на продолжении $BC$ за $B$.
Плоскость боковой грани $ABB_1A_1$ содержит прямую $A_1O$, а её пересечение с плоскостью $ABC$ — прямая $AB$. Поэтому проводим $A_1O$ и отмечаем $Y=A_1O\cap AB$. Точка $Y$ лежит на продолжении $AB$ за $B$.
Точки $X$ и $Y$ принадлежат плоскости $A_1OC_1$: первая лежит на прямой $C_1O$, вторая — на прямой $A_1O$. Обе точки принадлежат и плоскости $ABC$. Следовательно, искомая линия пересечения плоскостей — прямая $XY$.

Схема условная: точки пересечения показаны на продолжениях сторон основания за точку $B$.

Ответ: а) $X=C_1O\cap BC$; б) $Y=A_1O\cap AB$; в) прямая $XY$.