2. Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Точка O лежит на ребре BB₁. Постройте: а) точку пересечения прямой C₁O с плоскостью ABC; б) точку пересечения прямой A₁O с плоскостью ABC; в) прямую, по которой пересекаются плоскость ABC и плоскость A₁OC₁. Опишите шаги построения.

1. Продлим прямую C₁O до пересечения с прямой BC (при необходимости — с её продолжением). Обозначим точку пересечения P. Прямые C₁O и BC лежат в плоскости боковой грани BCC₁B₁, а её пересечение с плоскостью ABC — прямая BC. Поэтому P — искомая точка пересечения C₁O с плоскостью ABC.

2. Продлим прямую A₁O до пересечения с прямой AB (при необходимости — с её продолжением). Обозначим точку пересечения Q. Прямые A₁O и AB лежат в плоскости грани ABB₁A₁, а её пересечение с плоскостью ABC — прямая AB. Поэтому Q — искомая точка пересечения A₁O с плоскостью ABC.

3. Точки P и Q принадлежат плоскости A₁OC₁: P лежит на C₁O, а Q — на A₁O. Обе точки принадлежат также плоскости ABC. Следовательно, прямая PQ — линия пересечения плоскостей ABC и A₁OC₁.

Ответ: а) P = C₁O ∩ плоскость ABC; б) Q = A₁O ∩ плоскость ABC; в) линия пересечения плоскостей — PQ.