2. Дано: \(A(0;-1)\), \(B(-1;4)\), \(C(-5;-2)\). а) Найдите координаты точки \(D\) — середины \(BC\). б) Докажите, что \(AD\perp BC\).

а) Координаты середины отрезка находим как полусуммы соответствующих координат концов:

\(D\left(\frac{-1+(-5)}{2};\frac{4+(-2)}{2}\right)=D(-3;1)\).

б) Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{AD}=(-3-0;1-(-1))=(-3;2)\),

\(\overrightarrow{BC}=(-5-(-1);-2-4)=(-4;-6)\).

Их скалярное произведение равно \((-3)\cdot(-4)+2\cdot(-6)=12-12=0\). Так как скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, они перпендикулярны. Следовательно, \(AD\perp BC\).

Ответ: а) \(D(-3;1)\); б) \(AD\perp BC\).