2. Дано: ΔABC — равнобедренный с основанием AC, AO и CO — медианы в ΔABC (рис. 2.79). Доказать: ΔAOC — равнобедренный.

Обозначим AB = BC = a, AC = b. По теореме Аполлония для медианы AO, проведённой к стороне BC:

\(AO^2=\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}=\dfrac{a^2+2b^2}{4}.\)

Для медианы CO, проведённой к стороне AB:

\(CO^2=\dfrac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}=\dfrac{a^2+2b^2}{4}.\)

Значит, \(AO^2=CO^2\). Поскольку длины сторон положительны, \(AO=CO\).

Ответ: AO = CO, поэтому ΔAOC равнобедренный.