№2 Дано: ABCD и ADFM — параллелограммы, M ∉ (ABC), AK = KB, BL = LC. Докажите, что KL ∩ (ADF). Image: Two parallelograms ABCD and ADFM. Point K is the midpoint of AB, and point L is the midpoint of BC.

Решение:

Условие: ABCD и ADFM — параллелограммы, M ∉ (ABC), AK = KB, BL = LC.\\Доказать: KL \(\cap\) (ADF).

Доказательство:

1. По условию ABCD — параллелограмм. Следовательно, AB \(\parallel\) CD и AD \(\parallel\) BC.
2. Так как K — середина AB (AK = KB), и L — середина BC (BL = LC), то KL является средней линией \(\triangle ABC\) параллельной стороне AC.
3. Так как KL \(\parallel\) AC, то прямая KL параллельна любой прямой, лежащей в плоскости \((ABC)\) и параллельной AC.
4. Рассмотрим плоскость \((ADF)\). Так как ABCD — параллелограмм, то AD \(\parallel\) BC.
5. Так как ADFM — параллелограмм, то AD \(\parallel\) FM и AF \(\parallel\) DM.
6. Из параллельности AD \(\parallel\) BC следует, что прямая BC параллельна плоскости \((ADF)\) (так как BC лежит в плоскости, параллельной \((ADF)\) или пересекающей \((ADF)\)).
7. Поскольку KL \(\parallel\) AC, и AC лежит в плоскости \((ABC)\), а плоскость \((ABC)\) пересекает плоскость \((ADF)\) по прямой AD (так как AD является общей стороной параллелограммов ABCD и ADFM), то прямая KL ОБЯЗАНА пересечь плоскость \((ADF)\).
8. Если прямая параллельна плоскости, то она либо лежит в этой плоскости, либо не пересекает её. В данном случае KL не лежит в плоскости ADF, так как L не лежит в плоскости ADF (по условию M \(\notin\) (ABC), и при этом L лежит на BC, которая параллельна AD, то есть на одной из сторон параллелограмма ADFM, но L не является вершиной).
9. Более строго: Так как KL \(\parallel\) AC, и AC не параллельна плоскости ADF (они пересекаются по прямой AD, так как ABCD и ADFM - параллелограммы, где AD - общая сторона), то прямая KL пересекает плоскость ADF.
10. Таким образом, \(KL \cap (ADF)\).

Что и требовалось доказать.