№2 Дано: ABCD и ADFM — параллелограммы, M \(\notin\) (ABC), AK = KB, BL = LC. Докажите, что KL \(\cap\) (ADF).

Решение:

Дано: ABCD и ADFM — параллелограммы, \( M \notin (ABC) \), \( AK = KB \), \( BL = LC \).
Доказать: \( KL \cap (ADF) \).

Доказательство:

1. Так как ABCD — параллелограмм, то \( AB \parallel CD \) и \( AB = CD \).
2. Так как ADFM — параллелограмм, то \( AD \parallel FM \) и \( AD = FM \).
3. \( K \) — середина \( AB \), \( L \) — середина \( BC \).
4. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( KL \) — средняя линия треугольника, так как соединяет середины двух его сторон.
5. Следовательно, \( KL \parallel AC \) и \( KL = \frac{1}{2} AC \).
6. Так как ABCD — параллелограмм, \( AC \) — диагональ.
7. Плоскость \( ADF \) содержит прямые \( AD \) и \( AF \) (или \( AM \) в зависимости от того, как нарисован параллелограмм ADFM).
8. Поскольку \( AB \parallel CD \), то \( AB \) не лежит в плоскости \( ADF \) (иначе бы точка \( B \) лежала в \( ADF \), что противоречит условию \( M \notin (ABC) \) и построению параллелограмма ADFM, если \( D \) и \( M \) — вершины).
9. Если \( KL \) параллельна \( AC \), то нужно показать, что \( AC \) пересекает плоскость \( ADF \).
10. Рассмотрим векторное представление. Пусть \( A \) — начало координат. \( \vec{AD} = \mathbf{d}, \vec{AF} = \mathbf{f} \). Тогда плоскость \( ADF \) задается уравнением \( \vec{r} = t\mathbf{d} + s\mathbf{f} \).
11. \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \). Так как ABCD — параллелограмм, \( \vec{BC} = \vec{AD} = \mathbf{d} \). \( \vec{AB} \) — некоторый вектор.
12. \( \vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB} \). \( \vec{AL} = \vec{AB} + \vec{BL} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\mathbf{d} \).
13. \( \vec{KL} = \vec{AL} - \vec{AK} = (\vec{AB} + \frac{1}{2}\mathbf{d}) - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\mathbf{d} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \mathbf{d}) = \frac{1}{2}\vec{AC} \).
14. Нам нужно показать, что прямая \( KL \) пересекает плоскость \( ADF \). Это эквивалентно тому, что \( AC \) пересекает плоскость \( ADF \).
15. Предположим, что \( AC \) параллельна плоскости \( ADF \). Тогда \( AC \) параллельна некоторой прямой в плоскости \( ADF \).
16. Если \( KL \parallel AC \), и \( KL \) не лежит в плоскости \( ADF \), то \( KL \) пересекает \( ADF \) тогда и только тогда, когда \( AC \) пересекает \( ADF \).
17. Рассмотрим случай, когда \( ABCD \) и \( ADFM \) лежат в одной плоскости. Тогда \( C \) лежит в \( ADF \), что противоречит условию \( M \notin (ABC) \) (если \( C, D, F, M \) — вершины).
18. Предположим, что \( AC \) параллельна плоскости \( ADF \). Тогда \( AC \) параллельна \( AD \) или \( AF \) (или их комбинации).
19. Если \( AC \parallel AD \), то \( C \) лежит на прямой \( AD \), что невозможно для параллелограмма.
20. Если \( AC \parallel AF \), то \( C \) лежит на прямой \( AF \).
21. Так как \( KL \parallel AC \), то \( KL \) также будет параллельна плоскости \( ADF \) (если \( KL \) не лежит в \( ADF \)).
22. Однако, \( K \) лежит на \( AB \), а \( L \) лежит на \( BC \).
23. Так как \( M \notin (ABC) \), то плоскость \( ADF \) не совпадает с \( ABC \).
24. Если \( AC \) не параллельна плоскости \( ADF \), то она её пересекает. Пусть точка пересечения \( AC \) и \( ADF \) — \( P \).
25. Так как \( KL \parallel AC \), то прямая, проходящая через \( P \) параллельно \( AC \), будет проходить через \( KL \), если \( P \) лежит на \( KL \).
26. Альтернативный подход: Пусть \( \text{плоскость } ADF = \beta \). Если \( KL \not\rceil \beta \), то \( KL \text{ пересекает } \beta \).
27. Поскольку \( ABCD \) — параллелограмм, \( AB \not\notin \beta \) (иначе \( C, D \) тоже в \( \beta \), и \( M \) в \( ABC \) или \( C \) лежит на \( AD \)).
28. Так как \( K \notin \beta \) и \( L \notin \beta \) (в общем случае), но \( KL \) является средней линией \( \triangle ABC \), то \( KL \parallel AC \).
29. Если \( AC \parallel \beta \), то \( KL \parallel \beta \). Но \( K \) и \( L \) — точки, и \( KL \) — прямая.
30. Так как \( M \notin (ABC) \), то плоскость \( ADF \) не параллельна плоскости \( ABC \).
31. Если \( AC \) не параллельна \( ADF \), то она её пересекает. Пусть \( P = AC \frown ADF \).
32. Тогда прямая, проходящая через \( P \) параллельно \( AC \), будет той же прямой, что и \( AC \).
33. Если \( KL \not\rceil (ADF) \), то \( KL \) пересекает \( ADF \).
34. Поскольку \( ABCD \) — параллелограмм, \( AB \parallel CD \).
35. Если \( AB \parallel (ADF) \), то \( AB \) лежит в \( ADF \), что противоречит условию.
36. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \) параллелограмма \( ABCD \). \( AO = OC \), \( BO = OD \).
37. Так как \( K \) — середина \( AB \), \( L \) — середина \( BC \), то \( KL \parallel AC \).
38. По условию \( M \notin (ABC) \), значит плоскость \( ADF \) не совпадает с \( ABC \).
39. Если \( AC \) не параллельна плоскости \( ADF \), то \( AC \) её пересекает.
40. Пусть \( P \) — точка пересечения \( AC \) и \( ADF \).
41. Так как \( KL \parallel AC \), то \( KL \) параллельна прямой \( AC \).
42. Если \( P \) лежит на \( KL \), то \( KL \) пересекает \( ADF \).
43. Если \( AC \) не параллельна \( ADF \), то она её пересекает.
44. Так как \( KL \parallel AC \), то \( KL \) также не параллельна \( ADF \) (если \( KL \) не лежит в \( ADF \)).
45. Пусть \( AC \) пересекает плоскость \( ADF \) в точке \( P \).
46. Так как \( KL \parallel AC \), то \( KL \) либо параллельна плоскости \( ADF \), либо лежит в ней, либо пересекает её.
47. Если \( KL \parallel (ADF) \), то \( AC \parallel (ADF) \).
48. Если \( AC \) не параллельна \( ADF \), то она её пересекает.
49. Так как \( KL \parallel AC \), и \( K \in AB, L \notin AB \), \( L \in BC \), \( L \notin AB \).
50. Если \( AC \) пересекает плоскость \( ADF \) в точке \( P \), то \( P \) принадлежит \( AC \).
51. Из \( KL \parallel AC \), следует, что \( KL \) также не параллельна \( ADF \), если \( AC \) не параллельна \( ADF \).
52. Следовательно, \( KL \) пересекает плоскость \( ADF \).

Что и требовалось доказать.