№ 2. Дано: ABCD — трапеция, BP ∥ CD, ∠1 = 45°, ∠2 = 30°. Точка P лежит на AD. Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

В треугольнике ABP углы при B и P равны 30° и 45°. Поэтому ∠A = 180° − 30° − 45° = 105°.

Так как BC ∥ AD, а P лежит на AD, то BC ∥ PD. Вместе с BP ∥ CD это означает, что BCDP — параллелограмм.

Угол между PB и PD смежный с ∠BPA, поэтому он равен 180° − 45° = 135°. Противоположный ему угол параллелограмма при C равен 135°, значит ∠C = 135°. Тогда соседний угол параллелограмма при D равен 45°. Поскольку DP лежит на DA, ∠D = 45°.

Угол B трапеции складывается из ∠ABP = 30° и угла PBC параллелограмма, равного 45°. Значит, ∠B = 75°.

Ответ: ∠A = 105°, ∠B = 75°, ∠C = 135°, ∠D = 45°.