2. Дано: CC₁ ∥ BB₁. а) Докажите, что точки A, C₁ и B₁ лежат на одной прямой. б) Найдите BC.

а) По рисунку точки A, C₁ и B₁ принадлежат одной прямой. Рассмотрим треугольник ABB₁: точка C лежит на AB, а отрезок CC₁ параллелен BB₁. По теореме Фалеса прямая через C, параллельная BB₁, пересекает сторону AB₁ в точке C₁; следовательно, A, C₁ и B₁ лежат на одной прямой.

б) Из подобия треугольников ACC₁ и ABB₁:

AC / AB = CC₁ / BB₁ = 4 / 10 = 2 / 5.

Значит, AB = 8 · 5 / 2 = 20. Тогда BC = AB − AC = 20 − 8 = 12.

Ответ: BC = 12.