2. Дано: M ∈ α, a ∥ α, a ∥ b. Докажите, что прямая b лежит в плоскости α.

Проведём в плоскости α прямую c через точку M так, чтобы c ∥ a. Такая прямая существует: через точку плоскости можно провести прямую, параллельную прямой, параллельной этой плоскости.

1. По условию a ∥ b, а по построению a ∥ c. Следовательно, b и c параллельны.
2. Обе прямые b и c проходят через точку M (для b это задано рисунком и условием, поскольку M принадлежит b).
3. Через точку M проходит единственная прямая, параллельная a. Поэтому b=c, а значит, b лежит в α.

Примечание: в напечатанном условии указано только M ∈ α, но не сказано, что M ∈ b. Без этого дополнительного условия доказательство невозможно: через точку плоскости α можно провести прямую b, параллельную прямой a, но расположенную вне α.