№ 2. Дано: Окр.(О, r) AB, AC - касательные. Найти: ∠BAC

Решение:

В данной задаче мы имеем круг с центром в точке O и радиусом r. Отрезки AB и AC являются касательными к этому кругу в точках B и C соответственно. Требуется найти величину угла ∠BAC.

Согласно свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны, то есть AB = AC. Также радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, ∠OBA = 90° и ∠OCA = 90°.

Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°. Таким образом:

\( ∠BAC + ∠OBA + ∠BOC + ∠OCA = 360° \)

Подставляя известные значения:

\( ∠BAC + 90° + ∠BOC + 90° = 360° \)

\( ∠BAC + ∠BOC + 180° = 360° \)

\( ∠BAC + ∠BOC = 180° \)

Из этого следует, что ∠BAC = 180° - ∠BOC.

На чертеже указано, что радиус окружности равен 4,5. Также показано, что отрезок OK равен 3. Точка K является серединой отрезка BC, так как OK перпендикулярен BC (свойство касательных и равнобедренного треугольника ABC).

В треугольнике OBK, который является прямоугольным (∠OKB = 90°), мы имеем:

• OB (радиус) = 4,5
• OK = 3

Используя теорему Пифагора, найдем BK:

\( OB^2 = OK^2 + BK^2 \)

\( 4.5^2 = 3^2 + BK^2 \)

\( 20.25 = 9 + BK^2 \)

\( BK^2 = 20.25 - 9 = 11.25 \)

\( BK = \sqrt{11.25} \)

Так как K — середина BC, то BC = 2 * BK = 2 * \( \sqrt{11.25} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBK. Мы можем найти угол ∠BOK:

\( \cos(∠BOK) = \frac{OK}{OB} = \frac{3}{4.5} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3} \)

\( ∠BOK = \arccos(\frac{2}{3}) \)

Угол ∠BOC является удвоенным углом ∠BOK, так как треугольник BOC равнобедренный, и OK — высота и медиана:

\( ∠BOC = 2 \cdot ∠BOK = 2 \cdot \arccos(\frac{2}{3}) \)

Теперь найдем ∠BAC:

\( ∠BAC = 180° - ∠BOC = 180° - 2 \cdot \arccos(\frac{2}{3}) \)

Приближенное значение \( \arccos(\frac{2}{3}) \) составляет примерно 48.19°.

\( ∠BAC \approx 180° - 2 \cdot 48.19° = 180° - 96.38° = 83.62° \)

Ответ: ∠BAC = 180° - 2 \(\cdot\) arccos(2/3) ≈ 83.62°.