2) Даны две взаимно перпендикулярные прямые a и b, пересекающиеся в точке O, и некоторая точка A, не принадлежащая этим прямым. Точки A₁ и A₂ симметричны точке A соответственно относительно осей a и b. Докажите, что точки A₁ и A₂ симметричны относительно центра O.

Выберем прямоугольную систему координат с началом в O, осью абсцисс на прямой a и осью ординат на прямой b. Пусть A имеет координаты \((x;y)\).

При отражении относительно a меняется знак ординаты, поэтому \(A_1=(x;-y)\). При отражении относительно b меняется знак абсциссы, поэтому \(A_2=(-x;y)\).

Середина отрезка A₁A₂ имеет координаты \(\left(\dfrac{x+(-x)}{2};\dfrac{-y+y}{2}\right)=(0;0)\), то есть совпадает с O. Значит, O — середина отрезка A₁A₂, поэтому точки A₁ и A₂ симметричны относительно центра O.