2. Даны координаты вершин прямоугольника АВCD: A(-1;5), B(3; 5), C(-3;-2) и D(-1; -2). 1) начертите этот прямоугольник; 2) найдите координаты пересечения сторон прямоугольника с осью абсцисс; 3) Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD.

Решение:

1) Начертите этот прямоугольник:

Отмечаем точки A(-1;5), B(3; 5), C(-3;-2) и D(-1; -2) на координатной плоскости и соединяем их. Получаем прямоугольник ABCD.

2) Координаты пересечения сторон прямоугольника с осью абсцисс:

Стороны AD и BC перпендикулярны оси абсцисс. Ось абсцисс (y=0) не пересекает стороны AD (x=-1, 5 >= y >= -2) и BC (x=3, 5 >= y >= -2) внутри самого прямоугольника. Точки пересечения сторон с осью абсцисс находятся на самих сторонах:

Для стороны CD (y = -2, -3 <= x <= -1): ось абсцисс не пересекает.

Для стороны AB (y = 5, -1 <= x <= 3): ось абсцисс не пересекает.

Возможно, имеется в виду продолжение сторон. Если продолжить стороны, то:

Продолжение стороны AD (x = -1) пересекает ось абсцисс в точке (-1; 0).

Продолжение стороны BC (x = 3) пересекает ось абсцисс в точке (3; 0).

3) Координаты точки пересечения отрезков АС и BD:

Точка пересечения диагоналей прямоугольника находится посередине каждой диагонали. Найдем середину диагонали AC:

\( x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-1 + (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

\( y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{5 + (-2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \)

Точка пересечения диагоналей: (-2; 1.5).

Проверим середину диагонали BD:

\( x_M = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_M = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{5 + (-2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \)

Ошибка в условии или в координатах точек. По условию A(-1;5), B(3; 5), C(-3;-2), D(-1; -2). Построим и проверим.

A(-1;5) и B(3;5) - верхняя сторона, длина 4.

D(-1;-2) и C(-3;-2) - нижняя сторона, длина 2.

Это не прямоугольник. Построим по координатам, как они даны.

A(-1; 5), B(3; 5), C(-3; -2), D(-1; -2).

AB параллельна CD.

AD: x от -1 до -1. Вертикальный отрезок.

BC: x от 3 до -3. Наклонный отрезок.

Это трапеция, а не прямоугольник.

Предположим, что C и D должны быть другими, чтобы ABCD был прямоугольником. Для прямоугольника AB должен быть параллелен DC, и AD должен быть параллелен BC. Также углы должны быть прямыми.

Если A(-1;5) и B(3;5) - это основание, то длина 4. AD и BC должны быть вертикальными.

Если D(-1;-2), то C должна быть (3;-2) для прямоугольника.

Если C(-3;-2), то D должна быть (-3;5) для прямоугольника.

Будем решать по данным координатам, как если бы это была трапеция.

2) Координаты пересечения сторон трапеции с осью абсцисс (y=0):

Сторона AB: y=5, x от -1 до 3. Не пересекает ось абсцисс.

Сторона CD: y=-2, x от -3 до -1. Не пересекает ось абсцисс.

Сторона AD: x=-1, y от -2 до 5. Пересекает ось абсцисс в точке (-1; 0).

Сторона BC: Находим уравнение прямой, проходящей через B(3; 5) и C(-3; -2).

\( k = \frac{-2 - 5}{-3 - 3} = \frac{-7}{-6} = \frac{7}{6} \)

\( y - 5 = \frac{7}{6}(x - 3) \)

\( y - 5 = \frac{7}{6}x - \frac{21}{6} \)

\( y = \frac{7}{6}x - \frac{21}{6} + 5 = \frac{7}{6}x - \frac{7}{2} + \frac{10}{2} = \frac{7}{6}x + \frac{3}{2} \)

Приравняем y=0:

\( 0 = \frac{7}{6}x + \frac{3}{2} \)

\( \frac{7}{6}x = -\frac{3}{2} \)

\( x = -\frac{3}{2} \cdot \frac{6}{7} = -\frac{18}{14} = -\frac{9}{7} \approx -1.28 \)

Точка пересечения стороны BC с осью абсцисс: (-9/7; 0).

3) Координаты точки пересечения отрезков АС и BD:

Находим уравнение прямой AC:

A(-1; 5), C(-3; -2)

\( k = \frac{-2 - 5}{-3 - (-1)} = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} \)

\( y - 5 = \frac{7}{2}(x - (-1)) \)

\( y - 5 = \frac{7}{2}(x + 1) \)

\( y - 5 = \frac{7}{2}x + \frac{7}{2} \)

\( y = \frac{7}{2}x + \frac{7}{2} + 5 = \frac{7}{2}x + \frac{7+10}{2} = \frac{7}{2}x + \frac{17}{2} \)

Находим уравнение прямой BD:

B(3; 5), D(-1; -2)

\( k = \frac{-2 - 5}{-1 - 3} = \frac{-7}{-4} = \frac{7}{4} \)

\( y - 5 = \frac{7}{4}(x - 3) \)

\( y - 5 = \frac{7}{4}x - \frac{21}{4} \)

\( y = \frac{7}{4}x - \frac{21}{4} + 5 = \frac{7}{4}x - \frac{21-20}{4} = \frac{7}{4}x - \frac{1}{4} \)

Приравниваем уравнения AC и BD:

\( \frac{7}{2}x + \frac{17}{2} = \frac{7}{4}x - \frac{1}{4} \)

Умножаем на 4:

\( 14x + 34 = 7x - 1 \)

\( 14x - 7x = -1 - 34 \)

\( 7x = -35 \)

\( x = -5 \)

Подставляем x = -5 в уравнение BD:

\( y = \frac{7}{4}(-5) - \frac{1}{4} = -\frac{35}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{36}{4} = -9 \)

Точка пересечения диагоналей: (-5; -9).

Если предположить, что ABCD — прямоугольник, и C должен быть (3; -2) и D (-1; -2)

A(-1;5), B(3;5), C(3;-2), D(-1;-2)

2) Координаты пересечения сторон прямоугольника с осью абсцисс:

Сторона AD: x=-1, y от -2 до 5. Пересекает ось абсцисс в точке (-1; 0).

Сторона BC: x=3, y от -2 до 5. Пересекает ось абсцисс в точке (3; 0).

Сторона CD: y=-2, x от -1 до 3. Не пересекает ось абсцисс.

Сторона AB: y=5, x от -1 до 3. Не пересекает ось абсцисс.

3) Координаты точки пересечения отрезков АС и BD:

Середина AC: \( x_M = \frac{-1+3}{2} = 1 \), \( y_M = \frac{5+(-2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

Середина BD: \( x_M = \frac{3+(-1)}{2} = 1 \), \( y_M = \frac{5+(-2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

Точка пересечения диагоналей: (1; 1.5).

Предполагаем, что имелся в виду прямоугольник с вершинами A(-1;5), B(3;5), C(3;-2), D(-1;-2).

Ответ: 2) Пересечения сторон AD и BC с осью абсцисс: (-1; 0) и (3; 0). 3) Точка пересечения диагоналей: (1; 1.5).