2. Даны точки \(A(0; 4)\), \(B(4; 2)\), \(C(2; -2)\), \(D(-2; 0)\). а) Найдите координаты и длину вектора \(\overrightarrow{AB}\). Запишите уравнение окружности с диаметром \(AB\). б) Выясните взаимное расположение окружности и точек \(C\) и \(D\).

а) Координаты и длина вектора \(\overrightarrow{AB}\).

Координаты вектора равны разности координат конца и начала:

\(\overrightarrow{AB}=(4-0;\,2-4)=(4; -2)\).

Его длина: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

Уравнение окружности. Центр окружности — середина диаметра \(AB\): \(O\left(\frac{0+4}{2};\frac{4+2}{2}\right)=(2; 3)\). Радиус равен половине диаметра: \(r=\sqrt{5}\). Поэтому уравнение окружности:

\((x-2)^2+(y-3)^2=5\).

б) Положение точек \(C\) и \(D\).

Для \(C(2; -2)\): \((2-2)^2+(-2-3)^2=25>5\), поэтому точка \(C\) находится вне окружности.

Для \(D(-2; 0)\): \((-2-2)^2+(0-3)^2=25>5\), поэтому точка \(D\) также находится вне окружности.

Ответ: \(\overrightarrow{AB}=(4; -2)\), \(|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{5}\); окружность задана уравнением \((x-2)^2+(y-3)^2=5\); точки \(C\) и \(D\) лежат вне неё.