2) Даны точки A(−1; 5; 3), B(−3; 7; −5), C(3; 1; −5). Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Найдите длину медианы, опущенной из вершины к основанию.

Вычислим длины сторон:

\(AB=\sqrt{(-3+1)^2+(7-5)^2+(-5-3)^2}=\sqrt{4+4+64}=6\sqrt2.\)

\(BC=\sqrt{(3+3)^2+(1-7)^2+(-5+5)^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt2.\)

Так как \(AB=BC\), треугольник равнобедренный с основанием \(AC\), а медиана к основанию проведена из вершины \(B\).

Найдём середину основания \(AC\): \(M\left(\frac{-1+3}{2};\frac{5+1}{2};\frac{3-5}{2}\right)=M(1;3;-1)\).

Тогда длина медианы:

\(BM=\sqrt{(1+3)^2+(3-7)^2+(-1+5)^2}=\sqrt{16+16+16}=4\sqrt3.\)

Ответ: треугольник равнобедренный, длина медианы из вершины B к основанию AC равна \(4\sqrt3\).