2. Даны точки A(3;1), B(-1;4), C(2;-3), D(-2;-4). Найдите: а) координаты и длины векторов AC и BD; б) координаты и длину вектора m = 3AC − 4BD; в) разложение вектора m по координатным векторам i и j.

а) Координаты и длины векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\):

\[\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A;y_C-y_A)=(2-3;-3-1)=(-1;-4).\]

\[|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2}=\sqrt{17}.\]

\[\overrightarrow{BD}=(x_D-x_B;y_D-y_B)=(-2-(-1);-4-4)=(-1;-8).\]

\[|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-1)^2+(-8)^2}=\sqrt{65}.\]

б) Координаты и длина вектора \(\vec m=3\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{BD}\):

\[3\overrightarrow{AC}=3(-1;-4)=(-3;-12),\]

\[4\overrightarrow{BD}=4(-1;-8)=(-4;-32).\]

\[\vec m=(-3;-12)-(-4;-32)=(1;20).\]

Длина вектора:

\[|\vec m|=\sqrt{1^2+20^2}=\sqrt{401}.\]

в) Разложение по координатным векторам:

Так как координаты вектора \(\vec m\) равны \((1;20)\), то

\[\vec m=1\vec i+20\vec j=\vec i+20\vec j.\]

Ответ: а) \(\overrightarrow{AC}=(-1;-4)\), \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{17}\); \(\overrightarrow{BD}=(-1;-8)\), \(|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{65}\). б) \(\vec m=(1;20)\), \(|\vec m|=\sqrt{401}\). в) \(\vec m=\vec i+20\vec j\).