2. Даны точки $A(5;-3;4)$ и $B(2;-1;4)$, $C(-7;1;-2)$. Найдите: 1) координаты вектора $\overrightarrow{BC}$; 2) длину вектора $\overrightarrow{AC}$; 3) расстояние от точки $B$ до середины отрезка $AC$; 4) угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BA}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Даны точки $A(5;-3;4)$ и $B(2;-1;4)$, $C(-7;1;-2)$. Найдите: 1) координаты вектора $\overrightarrow{BC}$; 2) длину…$ Фото задания

2. Даны точки $A(5;-3;4)$ и $B(2;-1;4)$, $C(-7;1;-2)$. Найдите: 1) координаты вектора $\overrightarrow{BC}$; 2) длину вектора $\overrightarrow{AC}$; 3) расстояние от точки $B$ до середины отрезка $AC$; 4) угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BA}$.

Accepted Answer

Вычитаем координаты начала вектора из координат его конца: $\overrightarrow{BC}=C-B=(-7-2;1-(-1);-2-4)=(-9;2;-6)$.
$\overrightarrow{AC}=C-A=(-7-5;1-(-3);-2-4)=(-12;4;-6)$. Поэтому $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-12)^2+4^2+(-6)^2}=\sqrt{196}=14$.
Середина отрезка $AC$: $M\left(\frac{5+(-7)}2;\frac{-3+1}2;\frac{4+(-2)}2\right)=M(-1;-1;1)$. Тогда $BM=\sqrt{(-1-2)^2+(-1-(-1))^2+(1-4)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2$.
$\overrightarrow{BA}=A-B=(3;-2;0)$. Скалярное произведение $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BA}=(-12)\cdot3+4\cdot(-2)+(-6)\cdot0=-44$, а $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{13}$, $|\overrightarrow{AC}|=14$. Следовательно, $\cos\angle(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA})=\frac{-44}{14\sqrt{13}}=-\frac{22}{7\sqrt{13}}$, поэтому $\angle(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA})=\arccos\left(-\frac{22}{7\sqrt{13}}\right)\approx150,4^\circ$.

Ответ: 1) $(-9;2;-6)$; 2) $14$; 3) $3\sqrt2$; 4) $\arccos\left(-\frac{22}{7\sqrt{13}}\right)\approx150,4^\circ$.